Курс является общей физической дисциплиной, необходимой для успешной профессиональной деятельности выпускников кафедры.
Цель курса – дать теоретические и практические знания в области квантовой физики конденсированных сред.
Задача курса – расширить кругозор студентов, познакомив их с одним из прорывных и наиболее популярных направлений современной физики, и дать им необходимый теоретический аппарат для решения задач в этой области. Студенты познакомятся с применением базовых методов теоретической физики к конкретным задачам, возникающим при исследовании свойств кристаллов. Будут рассмотрены основные теоретические модели как электронной, так и фононной подсистем, их равновесные и кинетические свойства. В курсе рассматриваются также основные экспериментальные факты физики твердого тела, обсуждаются экспериментальные подходы и методы.
1. Симметрия кристаллов, геометрия кристаллических решеток и дифракция рентгеновских лучей
Тема включает изучение следующих вопросов и разделов. Элементы и группы симметрии кристаллических решеток. Трансляционная симметрия. Решетка Бравэ (элементарная ячейка, условная ячейка, ячейка Вигнера-Зейтца). Простейшие виды и базисы кристаллических решеток: ПК, ОЦК, ГЦК. Обратная решетка: определение, построение и свойства. Зона Бриллюэна. Понятия атомной и брегговской плоскостей. Дифракция рентгеновских лучей в кристаллах. Условие дифракции Брэгга-Вульфа. Условие дифракции Лауэ.
2. Электронные состояния в твердых телах
Теории металлов Друде и Зоммерфельда. Недостатки модели свободных электронов. Адиабатическое приближение Борна – Оппенгеймера. Невзаимодействующие электроны в кристаллической решетке. Квазиимпульс. Общие свойства зонного спектра. Уравнение Шредингера для электрона в периодическом потенциале. Теорема Блоха. Граничное условие Борна-Кармана. Общие свойства блоховских функций. Поверхность Ферми в кристалле. Зона Бриллюэна и энергетические зоны. Различные методы расчета зонной структуры. Приближение слабого периодического потенциала (метод слабой связи). Приближение сильной связи. Функции Ванье. Волновые функции электрона в запрещенной зоне (состояния Тамма). Плотность состояний. Заполнение энергетических зон электронами. Металлы. Диэлектрики. Полупроводники. Поверхность Ферми. Взаимодействующие электроны. Когезионная энергия. Ионные и ковалентные кристаллы, металлы.
3. Теория колебаний решетки. Фононы.
Недостатки модели статической решетки. Динамика решетки. Гармоническое приближение. Классическая теория гармонического 3D кристалла. Нормальные моды одномерной моноатомной решетки Браве. Нормальные моды одномерной решетки с базисом. Акустические и оптические моды колебаний решетки. Колебания и волны в 3D кристаллической решетке с базисом. Квантовая теория колебаний решетки. Фононы. Спектр и энергия фононов. Законы дисперсии акустических и оптических фононов в длинноволновом пределе. Продольные и поперечные фононы. Соотношение Бома-Ставера. Фононная теплоемкость гармонического кристалла. Закон Дюлонга и Пти. Квантовая теория теплоемкости. Интерполяционная формула теплоемкости Дебая. Приближение Эйнштейна для теплоемкости. Электронная теплоемкость металлов и диэлектриков. Ангармонизм колебаний решетки. Тепловое расширение твердых тел.
4. Магнитные свойства твердых тел
Уравнение Шредингера в магнитном поле. Ферми поверхности в магнитном поле: открытые и замкнутые траектории. Квантование орбит электрона во внешнем постоянном магнитном поле. Уровни Ландау для свободных электронов в магнитном поле. Вырождение уровней Ландау. Плотность состояний в магнитном поле. Циклотронная масса. Электронные и дырочные траектории. Парамагнетизм Паули. Диамагнетизм Ландау. Магнитная восприимчивость вырожденного электронного газа. Диамагнитные металлы. Эффект де Газа-ван Альфена. Магнитная восприимчивость. Теорема Ван-Леевен. Обменное взаимодействие. Дипольное взаимодействие. Магнитное упорядочение. Магноны. Диамагнетизм, парамагнетизм и ферромагнетизм.
5. Транспортные и оптические свойства твердых тел
Полуклассическая модель динамики блоховских электронов. Электроны как волновые пакеты. Пределы применимости полуклассической модели. Инертность заполненных зон. Уравнения движения электрона в постоянном электрическом поле. Блоховские колебания. Электроны и дырки. Эффективная масса. Эффективное число свободных электронов. Кинетическое уравнение Больцмана. Интеграл столкновений. Приближение времени релаксации (τ – приближение). Длина свободного пробега. Процессы рассеяния. Эффект Холла.Статическая проводимость и теплопроводность. Взаимодействие электронов с электромагнитным излучением. Скин-эффект. Оптические свойства твердых тел. Межзонные переходы.
Перечень типовых вопросов:
1. Электрон в решетке в слабом магнитном поле. Квазиклассика.
2. Теплоемкость. Модель Эйнштейна.
3. Экранировка. Теория Томаса-Ферми.
4. Колебания и волны в 3-х мерной кристаллической решетке.
5. Сохраняется ли квазиимпульс?
6. Элементы симметрии кристаллической решетки.
7. Тензор эффективных масс электрона в решетке.
8. Акустические и оптические фононы.
9. Кристаллические решетки. Решетка Бравэ.
10. Энергетический спектр электрона в слабом периодическом потенциале.
11. Плотность энергетических уровней.
12. Теплоемкость металлов.
13. Законы дисперсии акустических и оптических фононов при малых к.
14. Адиабатическое приближение. Теорема Борна-Оппенгеймера.
15. Недостатки модели статической решетки.
16. Закон дисперсии акустических фононов при малых к. Соотношение Бома-Ставера.
17. Метод сильной связи для расчета зонной структуры.
18. Функции Ванье.
19. Заполнение энергетических зон электронами. Металлы. Диэлектрики. Полупроводники.
20. Теория металлов Друде.
21. Оператор скорости электрона в решетке. Средняя скорость.
22. Теория металлов Зоммерфельда.
23. Процессы рассеяния в твердом теле. Правило Матиссена. Температурная зависимость сопротивления металла.
24. Дифракция рентгеновского излучения в кристаллах.
25. Оптическое поглощение в твердых телах. Межзонные переходы.
26. Нормальный и аномальный скин – эффект.
27. Теорема Блоха для электрона в периодическом потенциале.
28. Теплоемкость. Интерполяционная формула Дебая.
29. Поверхность Ферми. Методы ее экспериментального определения.
30. Фононы. Квантовая теория колебаний решетки.
31. Интеграл столкновений для рассеяния электронов на примесях.
32. Спектр электронов в твердом теле в магнитном поле.
33. Теплопроводность.
34. Ферромагнетизм. Диамагнетизм. Парамагнетизм.
35. Метод слабой связи для расчета зонного спектра.
36. Условия экспериментального наблюдения эффекта де Гааза- ван Альфена.
37. Теплоемкость диэлектриков.
38. Обратная решетка и ее свойства.
39. Диамагнетизм Ландау.
40. Парамагнетизм Паули.
Перечень контрольных вопросов:
1. Что такое тензор эффективных масс электрона в решетке?
2. Сохраняется ли квазиимпульс?
3. В чем отличие акустических и оптических мод колебаний в кристаллах?
4. Каково число фононных мод в кристалле?
5. Что такое решетка Бравэ?
Примеры контрольных заданий:
1. Построить качественный график зависимости теплоемкости металла от температуры с указанием электронного и фононного вкладов в теплоемкость.
2. Получить энергетический спектр электрона в слабом периодическом потенциале в одномерном случае.
3. Найти проводимость металла с использованием кинетического уравнения.
4. Вывести соотношение Бома-Ставера.
5. Назвать недостатки модели статической решетки.
Основная литература:
1. Дж.Займан, Принципы теории твердого тела, Москва, Мир, 1966.
2. М. Ашкрофт, Н.Мермин, Физика твердого тела, М., Мир,1979, 1 и 2 том.
3. А.А.Абрикосов, Основы теории металлов, М.,Наука,1987.
4. Л.Д.Ландау,Е.М.Лифшиц, т.3,5,9,10, курс "Теоретическая физика", М., Наука, 1976.
5. Ч.Киттель. Введение в физику твердого тела.// М.: Наука. 1978, 791
Дополнительная литература:
1. Р.Уайт, Квантовая теория магнетизма, М., Мир, 1985.
2. Киттель Ч., Квантовая теория твердых тел. М.: Мир, 1967.