Курс знакомит студентов с весьма востребованным в современной физике твердого тела и квантовой химии численным методом – методом теории функционала плотности (ТФП, DFT(англ.)). Данный метод позволяет проводить первопринципные численные расчеты для получения химических и физических свойств соединений и кристаллов. Методы ТФП позволяет исследовать геометрическое строение соединений и кристаллов, энергии связей, границ, адгезии, электронные, фононные спектры кристаллов и многое другое. В рамках курса излагаются теоретические основы метода ТФП (включая предшествующие методы, такие как метод Хартри-Фока), описываются базовые численные алгоритмы, лежащие в основе современных пакетов для проведения вычислений методом ТФП и проводятся практические работы по применению таких пакетов для исследования химических свойств простых соединений, а также химических, механических, электрических и магнитных свойств кристаллов – именно эта область наиболее востребована в физике твердого тела.
1. Квантовомеханические принципы, лежащие в основе теории функционала плотности.
Невозможность точного решения уравнения Шредингера для многоэлектронных систем. Приближение Хартри-Фока. Приближение Томаса-Ферми. Теоремы Хоэнберга-Кона и уравнения Кона-Шэма. Виды обменно-корреляционного потенциала. LDA, GGA приближения.
2. Численные методы, лежащие в основе пакетов, реализующих расчеты методом ТФП.
Численное решения уравнения Шредингера. Дискретизация пространства и построение матричного гамильтониана. Диагонализация Матриц. Метод быстрого преобразования Фурье. Методы решения уравнений самосогласования.
3. Знакомство с программным обеспечением (вычислительным пакетом).
Знакомство с формализмом конкретных вычислительных пакетов. Установка. Входные файлы. Запуск вычислений. Анализ выходных файлов.
4. Исследование отдельных молекул.
Геометрическая оптимизация. Расчет энергии связи. Колебательные степени свободы. Визуализация электронной плотности.
5. Исследование свойств кристаллических материалов.
Периодические граничные условия. K-точки. Энергия связи на ячейку. Энергия интерфейса для различных терминаций кристалла.
6. Исследование электронных и фононных спектров кристаллов.
Плотность электронных состояний (DOS, PDOS). Симметрийные направления в первой зоне Брюллиэна. Электронные спектры кристалла. Запрещенные зоны, плоские зоны, особенности Ван-Хова. Фононные спектры кристалла. Акустические и оптические моды. Поперечные моды ван-дер-ваальсовых кристаллов.
7. Исследование магнитных свойств материалов.
Учет спиновой поляризации вещества. Учет спин-орбитального взаимодействия. Неколлинеарные расчеты. Определение магнитного момента на ячейку. Расчет магнитной анизотропии. Хаббардовские поправки (DFT+U).
1. В чем состоит основное приближение метода ТФП и почему поставленные задачи нельзя решить без него?
2. Какие существуют приближения для обменно-корреляционного потенциала и в чем их суть?
3. Описать суть и вычислительную сложность численных процедур, реализуемых в процессе расчета методом ТФП: решение уравнений Кона-Шема, Fast-Fourier-Transform, электронное уравнение самосогласования?
4. Суть ионного цикла самосогласования. Метод геометрической оптимизации и нахождения собственных мод?
5. Электронная зонная структура и её связь с плотностью состояний. Высокосимметрийные направления в кристаллах.
Экзамен
Основная литература:
1. R. G. Parr, and W. Yang, Density Functional Theory of Atoms and Molecules (Oxford University Press, Oxford) 1989.
2. Ч. Киттель, Квантовая теория твердых тел, М.:«Наука», 1967.
3. W. Kohn, L. J. Sham. Phys. Rev. A, 140:1133(1965).
4. P. Hohnberg, W. Kohn. Phys. Rev. A, 136, B864(1964).
Дополнительная литература:
1. Л.Д. Ландау, Е.М Лифшиц., Квантовая механика (Нерелятивистская теория). М.: Наука, 1989.
2. Ашкрофт Мермин, Физика твердого тела
3. Киттель, Элементарная физика твердого тела
4. Н.Н. Калиткин, Численные методы. М.: Наука, 1978