Курс посвящен изучению свойств квантового электромагнитного поля, взаимодействующего с веществом. Последовательно обсуждаются модели Джейнса-Каммингса, системы уравнений Максвелла-Блоха и Гейзенберга-Ланжевена, а также управляющие уравнения на матрицу плотности, представляющие собой базовые математические модели для описания процессов в квантовой оптике.
В курсе рассматриваются ключевые явления квантовой оптики: спонтанное и вынужденное излучение атомов, сверхизлучение, осцилляции Раби и т.д. Результаты теоретического анализа сопоставляются с динамикой реальных квантово-оптических систем: лазеров, однофотонных источников, кубитов. Обсуждаются когерентные и спектральные характеристики излучения. Отдельное внимание уделяется рассмотрению новых направлений в квантовой оптике. В частности, физике систем с сильной связью между электромагнитным полем и средой.
1. Введение. Что такое квантовая оптика?
В рамках темы обсуждается область применения квантовой оптики. Рассматриваются основные понятия: волновая функция, матрица плотности, операторы физических величин. Рассматриваются свойства операторов физических величин и операции с ними.
2. Квантование электромагнитного поля
Описывается процедура вторичного квантования электромагнитного поля в свободном пространстве и для тел произвольной формы. Определяется понятие кванта электромагнитного поля («фотона»). Вводятся операторы рождения и уничтожения квантов, понятия фоковских и когерентных состояний. Вводится Гамильтониан электромагнитного поля через операторы рождения и уничтожения.
3. Квантование двухуровневой системы (ДУС)
Вводится понятие двухуровневой системы, обсуждаются условия применимости такой модели для описания реальных атомов и молекул. Описывается процедура квантования двухуровневой системы. Вводится Гамильтониан двухуровневой системы.
4. Оптические уравнения Блоха
Рассматривается взаимодействие двухуровневой системы с классическим внешним полем. Вводятся понятия вектора Блоха, сферы Блоха и уравнения Блоха. Вычисляется сдвиг Блоха-Зигерта. Обсуждается задача о рассеянии гармонического поля на двухуровневой системе.
5. Квантовое описание взаимодействия ЭМ поля и ДУС
Рассматривается задача о взаимодействие электромагнитного поля и двухуровневой системы в дипольном приближении. Вводится Гамильтониан Джейнса-Каммингса, обсуждается применимость приближения вращающейся волны. Вычисляются уровни энергии и собственные состояния Гамильтониана Джейнса-Каммингса. Рассматривается явление осцилляций Раби между электромагнитным полем и двухуровневым атомом.
6. Теория Вайскопфа-Вигнера спонтанного излучения атома в свободном пространстве
В рамках теории Вайскопфа-Вигнера вычисляется скорость спонтанного излучения и лэмбовский сдвиг частоты атома в свободном пространстве. Обсуждается влияние локальной плотности состояний на скорость спонтанного излучения атома. Вводится понятие Пёрселл-фактора.
7. Спонтанное излучение атома в резонаторе
Решается задача о спонтанном распаде атома, помещенном внутрь резонатора. Вычисляется скорость спонтанного распада, исследуется зависимость скорости спонтанного распада от положения атома внутри резонатора. Вычисляется Пёрселл-фактор при различных параметрах резонатора и расстройке по частоте между резонатором и двухуровневой системой.
8. Диссипация в квантовой механике
Рассматривается вопрос об описание процессов релаксации в квантовой механике. Из уравнений фон-Неймана на матрицу плотности системы и окружения выводится управляющие уравнение на матрицу только системы (уравнение Линдблада). В процессе вывода обсуждаются борновское и марковское приближения. Вычисляются средние значения операторов резервуара, находящегося в состоянии теплового равновесия.
9. Простейшие решения управляющего уравнения для матрицы плотности
Обсуждается вид уравнений Линдблада для осциллятора и двухуровневой системы, взаимодействующих с резервуаром, находящимся в состоянии теплового равновесия. Решаются задачи о диссипации гармонического осциллятора и двухуровневой системы. Исследуется вопрос о влияние внешнего гармонического поля на процессы релаксации двухуровневой системы.
10. Квантовая теорема регрессии
Рассматривается задача о вычисление двухвременных средних от операторов физических величин с помощью управляющего уравнения на матрицу плотности. Приводится доказательство квантовой теоремы регрессии. Производится вычисление спектра затухающего квантового гармонического осциллятора и затухающей двухуровневой системы.
Примеры заданий из контрольной работы:
1. Доказать, что любой оператор Ĥ можно представить в виде Ĥ = Â + i Ĉ, где Â и Ĉ – эрмитовые операторы.
2. Разложить (Â + ɛ Ĉ)-1 в ряд по малому параметру ɛ
Экзамен
Основная литература:
1. Е.С. Андрианов, А.П. Виноградов, А.А. Пухов, «Лекции по квантовой оптике» (М.: МФТИ, 2018), 226 стр.
2. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Квантовая механика. Нерелятивистская механика» (М.: Физматлит, 2004), 800 стр.
Дополнительная литература:
1. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Статистическая физика», Часть 1 (М.: Физматлит, 2005), 616 стр..